數學寫作活動對學生數學學習成效之探討
林慧美、周育貞
國立彰化師範大學工業教育研究所研究生
緒論
數學一直是學生很懼怕的一個科目，要以何種方式來引導學生學習，一直是研究者在教育界中努力探討的問題，任教五年多來，看到很多的學生對數學總是摸不著頭緒，上數學課時總是覺得很乏味、提不起任何的學習意願，於是引起研究者致力尋求解決之道，力圖去找出將課程設計得較有意義，進而了解學生們的思路歷程，幫助他們建立數學觀念，並進一步提升學生們數學學習的態度，後來發現學生其實可運用數學寫作的方法來學習數學，透過另類的評量方式，讓學生與同儕的互相分享、學習新觀念，教師也可藉由寫作來了解學生的問題所在，師生之間也可藉此做有效的溝通。
數學寫作正可強化學生知識的架構，學生在進行寫作之前，必須思考、重組自己的想法，若學生可以很清楚的寫出數學學習單元的概念，代表他也已經了解觀念（Johnson, 1983），寫作的內容也可回饋給教師診斷學生學習情形及學習困難的地方，利於做補救的教學。當學生自己動筆去整理所學習的內容，會使得原本混亂的思維變得更井然有序，因此學生在寫作過程中必須以清楚、且有系統性的方法去組織舊有與新的知識、概念或策略，省思後再將這些訊息重新建構成為個人的知識。此過程不僅強調學生在數學領域中認知及技能上的學習，且更有助於處理學習態度問題，例如學習積極態、對數學不再有焦慮、厭惡的情形，可增進學生對數學學習的熱忱及學習成就。
本文是針對國二學生實施數學寫作來做探討，首先針對數學寫作的意義、及數學寫作的理論基礎及形式、數學寫作的教學策略加以說明，再針對國二學生實施數學寫作的成效來探討，希望藉由此篇研究，讓研究在教學上，有更大的突破，也可當作數學教育界的教師當作參考。
壹、數學寫作的意義
什麼是「數學寫作」呢？
魏宗明（1977）將數學寫作定義為數學表徵活動之一，係指學習者透過紙筆以學習日誌、報告或故事等方式將各個人數學想法、概念、技巧和解題過程呈現出來，並藉此與人溝通。而學生也可以更加有系統的進行數學概念的組織、內化。
劉祥通、周立勳（1997）為數學寫作所下的定義為：「數學寫作是促使學習者透過紙筆進行解釋、省思、回顧、組織或連結有關數學經驗與知識的書寫與紀錄活動。
美國數學教師協會（NCTM, 1989）對數學寫作定義為：「數學寫作即是描述學習者如何解決一個問題，在這過程中可以幫助學生澄清想法與發展更深一層的理解」。
多位學者（Baxter, Woodward, Olson, & Robyns, 2002；Liedtke & Sales, 2001；NCTM, 2000）更認為數學寫作可以是一種幫助學習的催化劑，因為它不僅提供學生機會，使學生可以更清楚地描述他們的感覺、想法與觀念，而且也可藉由寫作得知學生的觀感，是學生與他人溝通的工具之一。
因此，數學寫作是鼓勵學生以自己的話將所學的新知識與舊知識或經驗加以聯結，在寫作的過程中，不注重寫作的形式，學生可以暢所欲言，將自己所想到的方法或解題方式記錄在學習單上，教師可根據學生的解題歷程得知學生的思維，針對學生錯誤的觀念再予以補救教學，提升學生的學習成效。
貳、數學寫作的理論基礎
劉祥通與周立勳（1997）針對數學與寫作的結合提出以下理論基礎：
（一）寫作的歷程與解題的歷程相符應：寫作的歷程即是環繞著整個解題的步驟，是讓學習將自己心中所想的記錄下來，在解題過程中，不斷將自己的觀念與舊知建立聯結，進而達成學習，因而數學寫作活動有助於解題，是數學解題過程的一個好策略。
（二）寫作是聯結不同表徵的活動：學生藉由個人的數學語言、符號或以圖解的方式來陳述自己的思考過程，再次將知識組織，因此，在寫作的過程中，也因運用了自己的想法而更加深了印象，促使學生的思路較清楚。
（三）寫作是建構知識的活動：學習者以新的方式統整知識並精緻化知識時，其實就是將所學新知再加工處理，即是建構知識的工作。
（四）寫作有助於發展後設認知的能力：寫作活動就是製造機會讓學生產生省思、分析、或陳述的活動，進而建構起知識。
參、數學寫作的形式
一、Kenyon(1989)依寫作時間的長短：
（一）長期寫作(從數天到數週)：
1.
預寫或計劃(prewriting or planning)：需要更多認知過程。
2.
寫作(writing or composition)：將之前的想法轉換成明確的文字表現出來。此階段學生不需要太注意拼字和文法。
3.
修正或再寫(revision or rewriting)：檢視自己的思考歷程，修改使得內容更清楚和聚焦。
（二）短期寫作：可以利用課堂的幾分鐘或是整節課的時間來進行，這一些活動有：解釋為何會有這樣的結果、比較兩個概念、解釋原因、自由擬題、寫出該章節的大綱、文字問題的解題、寫下一些上課心得與筆記。
二、Wild(1991)依寫作的性質：
（一） 寫下所學的內容：若學生一開始不知道要寫些什麼，教師可鼓勵他們用畫的將所學的內容畫出，再寫下說明。
（二） 文字題（word problems）：結合學生個人生活經驗轉變為數學語言。
（三） 程序題（process problems）：即透過推論、判斷、嘗試的方法去洞察問題的答案。
三、Neil(1996)整理出數種數學寫作的型式：
（一） 闡述性寫作(expository writing)此種寫作是紀錄談論重點、將黑板或教科書的內容記下來，或是一種總結曾經在數學上使用的多種延伸。闡述性寫作主要的目的是紀錄和解釋數學概念，它包含學生自己的想法及學生本身幫助自己產出數學的知識，性質類似札記。
（二） 表達性寫作(expressive writing)，是表達數學想法的寫作，可藉由數學日記做為學生學習時溝通互動的一種方式，當學生表達他的想法在數學日記裡，教師也應對學生寫的內容有所回應，師生的溝通就在其中建立起來了。
（三） 創造性寫作(creative writing) 讓學生以數學概念組織出一個故事或問題，也可以是寫一封有關數學的信或是一個計畫。
由以上文獻可知，在寫作的題材很多元，教師可根據課堂的需要及學生程度來設計，而般常見的形式如下：
（一） 生活記事：學生當日的心情及學習等。
（二） 數學日誌：當日數學課堂中的學習要點、計算法則、或疑問等。
（三） 創作活動：鼓勵學生運用所學的去創造題目或尋找其他解題方法。
（四） 開放式題目：找規律、延伸學習、．．．．。
（五） 下定義：對公式、數學詞彙、概念、．．．．等的簡要記錄。
（六）探究：從做的過程中所得的發現。
（七） 質疑：記錄課堂中發現的問題 。
（八）
感想：在這堂課中學習到的知識或感受。
肆、數學寫作的教學策略
數學寫作的種類很多元，也富有其內涵與效果，故教師應針對不同的教學單元、教學環境與學生特質，應用不同種類的數學寫作，其在教學的策略中有以幾點：
Miller（1991）提出教師要在班級中實施有效的數學寫作活動，必須注意以下十點：
（一）決定讓學生在進行寫作時應寫多久的時間、何時寫。
（二）事先計畫一整節數學課的提示詞或佈題設計。
（三）教師的佈題要貫穿整節課，而且要有彈性。
（四）要學生與其他同學、朋友、家人用數學寫作來溝通。
（五）要學生在一開始上課時寫數學寫作，以便做好上課準備，並且有助於與學習內容做轉換或連結。
（六）要學生在結束一段課程之後寫數學寫作，以便評估它們對課程內容的理解程度，或是了解他們對這段課程的想法、感覺。
（七）老師要加入學生的數學寫作，與學生分享觀點。
（八）不要讓學生有分數壓力，要讓他們知道，有效的學習需要數學寫作的配合。
（九）如果學生沒有寫，不要責備他。
（十）要有耐性，剛開始學生可能寫很少，很簡短，而且沒有意義，老師應給予多一點時間指導。
Neil(1996)在數學寫作上給教師一些建議：
（一） 提供學童間及學
（二） 從教學活動、書本中提供學生一些資訊或範例，來引導學生數學寫作。
（三） 提供一些開放性的問題或是數學難題給學生解題。
（四） 建立一個讓學生覺得有信心的環境，使他們能夠成功的做數學及寫下他們的經驗。
（五） 允許學生使用他們的語言去發展數學問題並解題。
伍、教學實驗設計與流程
在學生融入數學寫作活動的流程上，研究者本身會先對教授內容做完整的備課，並依據課程內容編制每單元的數學日記，供學生於一單元結束之後，進行數學寫作，數學寫作教學流程如下圖所示：
圖6-1 數學寫作教學活動流程圖
柒、研究結果與討論
實施數學寫作活動，有以下幾點結果：
一、數學寫作可反應學生的數學概念理解
在數學學習中，應該重視條件與結論之間緊密相聯的因果關係，絕不能忽略理解而死記硬背，所以研究者在設計數學週記題材時偏重於觀念的理解。在圖7-1、圖7-2作品中，可藉由數學寫作的方法來了解學生對數學概念、及定理的理解程度。
圖7-1 數學週記內容
圖7-2 數學週記內容
二、幫助學生在學習過程中紀錄自己的回顧、分析與反思
學生可以藉著寫作檢視個人的思考歷程，將所學過的概念與知識做再次的審視與深思藉由個人文字或圖解的陳述，再次組織、複習所學課程，因此加深了印象。如果學生可以很清楚的寫出數學概念與想法，代表他也已經了解。如圖7-3。
圖7-3 數學週記內容
三、數學寫作可成為師生間的溝通工具
教師針對學生在日誌中所提的問題做適當的回應，或糾正學生的迷思概念，開展師生間的個別對話及溝通，成為一個有價值的溝通工具。
圖7-4 學週記內容
四、數學寫作可成為教師的教學診斷工具
藉由閱讀學生的數學日誌，老師可以從文字題的解題或其他批判性的思考訓練中，來評估學生的認知學習能力，診斷學生的學習狀況，可以讓教師得知自己教學是否有效，協助教師教得更好。Miller(1991)曾在「寫作中學習數學」(Writing to Learn Mathematics)一文中指出：數學寫作可以使不敢問問題的學生，利用寫作的方式把他的問題紀錄下來，而透過這種方式，不但可以幫助老師清楚地明瞭學生問題所在，更可以透過此種溝通方式，幫助老師修正自己的教學模式，讓學生可以學得更好。
圖7-5 數學週記內容
捌、結論
由學生的數學週記寫作內容加以分析，發現數學寫作在實際教學上的助益有：
（一）可以看出學生的數學概念理解程度
（二）幫助學生在學習過程中紀錄自己的回顧、分析與反思
（三）成為師生間的溝通工具
（四）可成為教師的教學診斷工具
（五）在這次的寫作活動中，學生對數學寫作的心得為：
1. 學會自己整理重點。
2. 將學習單整理好，就更能掌握這章節考題類型與方向。
3. 可以檢視自己對學習章節的理解程度和用心程度。
4. 可以釐清很多基礎觀念，增加判斷力。
5. 接觸更多類型的題目。
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