淺談幼兒數概念的教學

吳昀倩

嘉義大學幼兒教育研究所

一、前言：

「生活中有許多事物與數概念密不可分，例如號碼、計算、推理、序列、邏輯、空間等，但爲什麼我們很少談論到它？而講到錢，就清清楚楚的呢？」

「當代流行著各種數概念課程，例如MPM數學、奧林匹克數學、傑立卡數學等，是從其中發現了什麼或好處嗎？為何如此汲汲營營？」

研讀「嬰幼兒數學教育」我們可以得知，當我們還是小小孩的時候，就具有數感了，這是人類與生俱來的能力。根據這項人類的特質，期許在教學場域中的幼教師，甚至各層級老師，如果能根據幼兒數概念發展階段並順水推舟地教導幼兒或兒童學習數概念，也許我們和孩子都會喜歡數學，使得學習者不再對數學感到陌生與遙遠！

二、數學教育理論

就皮亞傑學派之研究指出，幼兒處於前運思期與具體運思期，從僅能判別「長度」到試著「建構一對一關係」以及成熟地建立一對一關係和「保留數目之不變性」。皮亞傑學派堅信幼兒具有邏輯本質之數量保留（守恆）能力是數學理解之先決條件。而不少學者認為正確了解幼兒數學知識，必須正視幼兒「可以做」的能力，而非將焦點放在其不能做的事，Ginsburg和Baroody對這些能力表現統稱為「非正式的算數」（Informal Arithmetic），並認為它是幼兒時期最大的成就之一。它的發展與表現如下：

（一）多少、序列和同等：

嬰幼兒能夠辨識少量實物間數量的變化，連續示以嬰幼兒相同數量（例如3個）之實物之後，再間雜不同數量（例如4個）之實物，此時嬰幼兒會對不同數量之實物特別加以注意。兩歲起，幼兒開始發展數量概念，包括多少、序列和同等，但他們的技能與概念大致是內隱的、非正式的、甚至無法用口語明確表達的，並且他們的技巧是受限制的、不穩定的。三、四歲之後，能夠對少量的實物做相當正確的判斷，在不會計算的情況下，其判斷是基於直覺的物理外觀，也就是兩組實物所佔的空間大小。這其實很合理，因為數量的多寡（或同等）與其所佔的空間大小是有關係的。

（二）唱數與計數：

幼兒在生活中唱數就像是唱歌一樣，樂此不疲，經過不斷練習的結果，他們發現經過自我嘗試與他人的協助、自我修正之後，終於建構10以後的唱數法則。而能唱數不代表就能運用計數，Baroody（1992）綜合各方研究指出，有研究者提出「技巧為先」（skills-first）的觀點，認為計數技巧是經由模仿、練習、強化而記憶背誦而獲得的，其中並未真正了解內涵（技術之原則與概念）。但是目前多數學者則提出「原則為先」（principles-first）或「原則－技巧相互發展」的觀點。「原則為先」（principles-first）的論點是，因為幼兒計數技巧受到計數原則的駕馭與指引，三歲的幼兒懂得計數實物的概念與原則，如固定順序原則、一對一原則、基數原則、抽象原則與次數無關原則。至於「相互發展」觀點則認為計數之原則與技巧，兩者是相互交織般地共同發展的。無論是「原則為先」（principles-first）或是「原則－技巧相互發展」的觀點，都認為幼兒對計數實物有某些概念上的理解（他們知道東西只能數一次，但是量很多時，就不正確運用這些原則），但是因為他們缺少系統性紀錄，而必須常靠記憶，而造成記憶上的負擔。

（三）實用算數：

「你有2顆蘋果，再給你3顆，你總共有幾顆？」，這樣的問題對於兩、三歲幼兒來說還未具理解能力；而四歲幼兒已經知道如何求兩組東西的總合，他們用的策略是「計數（點算）所有東西」（counting all）（1、2、3、4、5…...），也就是將兩組東西合起來計算；五歲的幼兒除了用數全部的策略之外，甚至能發明更有效率的計算方法，「往上繼續計數」（counting on），也就是從第二組開始數（2，3、4、5）。幼兒需要利用實物來計數，當沒有實物的時候，幼兒通常利用自己的手指頭來計數運算，或者是以大聲唸出來的方式計數，如果要幼兒利用符號、記號來替代想像中的東西來計數，那就更加困難了；但是到了小學階段，孩子計數這方面會達成熟，已經進展到能在心裡運算的層次。

三、幼兒天生具有數感

周淑惠（1999）指出，我們在幼兒時期所聽、所見、所做、所想都和數學發生密切的關係，在這樣一個充滿數學與解決問題的氛圍、情境中，自然萌發了對數量的感知與算術技巧。

研究指出 兒在學齡前就擁有以幼兒已具有的實物計數技巧為基礎，而自然地延伸發展出數學的計算解題能力或自行發明演算的方法，這些演算技巧或解題方法包括了「計數所有的」（counting all）、「往上數的」（counting on）這些策略，稍大的幼兒就更精進地能夠使用更有效的選擇性策略進行數的學習。Gingburg和Baroody認為幼兒所發明的這些策略是謂之「非正式的算數」（Informal Arithmetic），非正式算數能力的存在證明了學前幼兒絕對不是一個等待接收的白紙，如何將新的知識與孩子腦中既有的認知與理解發生關聯，創造對幼兒有意義的學習，才是數學教育的重大責任。數學是人類解決實際生活問題而產生的，這和幼兒數學的萌發情形極為相似，都具有情境性、實用性與解決問題的特性。並且，幼兒的數學能力是始於直覺的、具體的、不穩定的與有限制的狀態之下逐漸衍發成正式的、抽象的數學。對於從事幼兒教育者來說，幼兒非正式數學的存在與特性是學習數學的重要起點。

Baroody（1987）提到數學教育理論之「吸收論」（absorption theory）與「建構論」（construction theory）。吸收論所關注的是孩子學什麼，建構論關注的則是孩子如何學習。這樣的兩種觀點使得Hiebert和學者提出孩子發展數學能力時，其技能與概念理解扮演著重要的互動角色，亦即程序性知識和概念性知識要相互連貫。在教學的場域中，指導數學教育要以幼兒的遊戲與建構方式、彈性地教學，以便對教室的文化生態和幼兒特質進行最適時、適切和適性的教學。

周淑惠（1999）指出，幼兒數學教育的目標有四：激發幼兒對數學的興趣、促進幼兒對數學概念的理解、促進推理與解決問題之運用能力以及培養完整的幼兒。其中「培養完整的幼兒」之建議是對幼兒教育的一種省思與行動，我們相信，生活中的數學在幼兒、甚至人類的生活中是不可被分割的，它和各類學科是並進的，希望幼兒均衡地以健康、快樂、自信與智慧地應變並適存於未來的社會，因此，數理邏輯的智能與態度是何其重要而不可偏廢的。

學習數學，最關鍵的部分在於教育，教師必須具有足夠的學科知識，才能在遊戲教學中引導幼兒發現與思考。如果學科知識是貧乏的，那麼遇到事件易成為錯過學習數學的機會。幼教場域是動態的、是變化多端的，老師的調整彈性的能力與學科知識的素養最足以影響幼兒學習的品質。

四、幼兒數學學科教學

根據周淑惠（1999）指出幼兒數與量的教學內容可歸納為下列幾項：

（一）唱數與計數：

計數能力是幼兒建構非正式算數的基礎、理解數量概念的必要條件。教學上，採點算實物、體驗「一組實物無論如何安置擺放，總數不會改變」，設計讓幼兒順數（1、2、3……）與逆數（10、9、8……）也很有意義。

（二）數字的識別、書寫與運用：

幼兒階段識別數字的形象很重要，若能將其所認讀的抽象數字與其所代表的具體實物、或半具體之圖片、或其口語念出來的數字等加以配對、連結，這樣才是真正概念理解性的認讀數字。至於書寫的工作，由於幼兒處於小肌肉尚未發展完全之階段，可以擬寫、不需拿筆書寫，並且注意擬寫範圍避免在窄小的空格內完成，如果小朋友很喜歡書寫活動，老師必須輔導拿筆姿勢與坐姿等的學習。Baroody（1987）建議以口語加上描寫動作的方式學習省思數字的形象，讓小朋友用自己的話順著其所念出的筆順。

（三）數字關係：

傳統的數字教學會在幼兒學會簡單的計數之後，直接進行到加減運算，但是我們了解幼兒的思考階段之後，必須是讓幼兒充分了解數字間的各種關係。數字關係包括每一個數字與5、與10之間的關係，例如，7，比5多2，比10少3；數字間順序、大小、多少的關係，讓幼兒排列數字大小，並指出第1大、第2大等的順位，以及兩個數字間7比5多2、7比5少2等；至於數字的合成、分解（部分與整體）關係，可以算是加減運算的先驅，例如7可以是2和5組成，也可以是3和4、4和3、1和6以及7和0等的組合。

（四）運算與估算：

幼兒的運算須以「解決問題」的方式來發展其技巧，也就是利用生活實例、模擬真實情境等方式。容許幼兒運用各種不同的方法，例如操作具體物、演示、在紙上畫圖做記號、討論、運用計數技巧、或使用手指頭運算等以解決問題，充分地探索加減概念。充分理解之後，才引導進入「＋」、「－」等抽象符號的使用。

至於估算能力則是知道用計算機時，判別是否按錯、計算的結果合理嗎？在估算時，必須運用邏輯推理、判斷與決定能力。在講求推理思考、解決問題教學趨勢下，培養幼兒的估算能力也應該納入教學的重點。讓小朋友有推理、估算的經驗，例子如：這一堆是5顆蘋果，那另外一堆是幾顆蘋果呢？

（五）連續量的表徵與比較：

我們用數字去表徵一組分立的實物－分離量，例如桌上有2顆蘋果、書架上有1本書；至於連續量，如長度、面積、容量等。為了有助於了解與表達，我們通常也將它想成由一組細小且同等的獨立部分所組成，這些部分可以被合在一起重現原有的量，例如這1杯水是由5杯養樂多瓶所組成，這就涉及到「測量」的概念與技巧。不過，在實地測量活動進行之前，老師應該給予幼兒估算的機會與經驗，以便發展其思考邏輯，再以測量結果驗證其答案，這是十分有趣的教學活動，我們常常可以觀察到幼兒對此有著驚奇的、謹慎的表情。另外，將實物的比較分類成組是最基本的連續量活動，一樣長（大、多、高、重、快……）、不一樣長和一樣長、較長、較短等。而將實物分類也是很有趣的學習活動，例如給予一些文具用品，讓幼兒將與一只短尺長度相同者歸類、較短尺長度短者歸類，其實是進一步依序排列之基礎。

五、結語

在筆者過去的教學經驗中，對於數概念的教學僅於唱數、計數，接著為了幼小銜接便給予10以內數量之圖示加減運算。在幼兒學習數概念的同時，慶幸的是教室內提供了個人操作的教具以及角落活動中教具的遊戲與學習，使得幼兒數概念的表現有順利的發展與學習。

至於幼兒書寫的部分，筆者認為不要急於給予幼兒書寫之壓力，並留意寫作格子的空間。作者觀察到坊間教材中書寫空間的設計太小、不適合孩子，家長們要留意這個可能來自於父母的過去學習經驗卻被現代顛覆的小細節。另外，孩子在書寫時有許多是成人習以為常但對孩子是很大的挑戰的層面，當孩子戰戰兢兢地控制著手眼協調、完成被迫寫在格子內的作業，被要求寫作結果的正確性時，孩子面對的總合挑戰對於能力較弱的孩子來說是會增加其挫折感與負擔的，這方面的輔導需要老師的費心。

至於數字關係與連續量的教學，則是筆者需要多加提升的學科知識。使用生活化的教具進行教學或參考過去著名研究實驗的例子來設計活動、採用開放性問句、提起孩子解決問題的好奇心以及更多專業上所需的耐心，是筆者在幼兒數學教育教學上的自我期許。

六、參考文獻

周淑惠（1999）。幼兒數學新論：教材教法。台北：心理。

Baroody A. J.（1987）。Children's Mathematical Thinking：A Developmental Framework for Preschool. Primary, and Social Education Teachers。New York：Teachers College。

Baroody A. J.（1992）。The Development of Preschoolers' Counting Skill and Principles. In J. Bideaud, C. Meljac, & J.P. Fischer（Eds.）, Pathways to Number：Children's Developing Numerical Abilities。Hillsdale N.J.：Lawrence Erlbaum。

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