由數學本質、哲學觀解析我國國小數學課程之內涵
台東大學教育研究所 許修豪
壹、數學的本質
什麼是數學？這是一個耐人尋味的問題。李國偉（1978）認為數學的概念不是人與生具有，也不是憑空捏造而來的，是經由漫長歲月的整理客觀世界活動的而來，數學最終所研究的對象即是客觀的世界。早在古希臘時代，畢達哥拉斯（Pythagoras）及其門徒即視萬物皆由數所轉化而來，以數的概念來了解世界，進而影響歐基里德完成（Euclid）幾何原本（The
Elements）。在幾何原本一書中設立了一些定義，一般我們稱為「公理（axiom）」來規範、證明及求得真理，將數學變為一門系統性的學問。可見數學所探究的對象是人類文化活動的現象，從而達成問題解決的目的（黃敏晃，2003），正如施皓耀（2003）所指出：「數學是一連串以數字系統為基礎，用以呈現、描述與詮釋實際事物的變化關係」（引自廖素卿，2003）。
數學是模式的科學（鄭毓信、李國偉，1999），不論是問題或是結果必要藉助一定的語言才能表述出來。數學語言包含概念與符號兩種要素（鄭毓信、李國偉，1999）。概念體系所指的是公理與定理、原始概念與衍生概念的連續性與內在聯繫；符號語言是數學表述的重要元素，透過符號語言把人類文化的活動現象展現出來，其特點有：1.簡單性與嚴密性，2.可操作性，3.普遍性與徹底性（鄭毓信、李國偉，1999）。除了語言，數學另一重要的操作模式即為邏輯，懷海德（Whitehead,
1929）認為邏輯有發現邏輯與發現者邏輯兩種類型；發現邏輯即為歸納法，而發現者邏輯亦稱演繹法。數學在公理設定的基礎上，較為偏重的是演繹的法則，新的公理及理論的發現必由先前的研究成果而來，好比爬樓梯般的循序漸進，因而造成數學本身結構的強韌性。所以，數學是對抽象的東西做具體的研究（張景中，1996），經由演繹法則而推理出新的理論，而透過符號語言表述出來的一種科學。
相對論及量子力學在科學的發展史上帶來空前的衝擊與震撼，影響所及，在社會人文領域也產生所謂的現代主義與後現代主義之爭，這股風潮也在數學領域的基礎研究上造成質的變化，像是哥德爾（Gödel, K.）在1931年發表的「不完備性定理」推翻了二十世紀初希爾伯特（Hilbert, D.）所倡言建立的「連續統假設」議題，但其中不難發現哥德爾所用的邏輯方法仍是希爾伯特式的形式主義（Casti & DePauli, 2003）。換句話說，哥德爾證明了邏輯與數論的與矛盾性（丘成桐，1999）與不完整性，創造出不同的基礎研究典範，引領數學的研究轉向成為數學工作者的「活的數學」。儘管數學是以一種現代主義的理性思考邏輯構成架構，數學的本質卻受哲學思想轉向的影響而產生一些新的研究對象，與其他的學科相互結合。其新增加的涵納內容來源如下：
表一：數學對象的來源
|
活動類型 |
觀念 |
概念表述 |
|
收集 |
集體 |
（元素的）集合 |
|
數數 |
下一個 |
後繼、次序、序數 |
|
比較 |
計數 |
一一對應、基數 |
|
計算 |
數的結合 |
加法、乘法規則、阿貝爾群 |
|
重排 |
置換 |
雙射、置換群 |
|
計時 |
先後 |
線性順序 |
|
觀察 |
對稱 |
變換群 |
|
建築賦形 |
圖形、對稱 |
點集 |
|
測量 |
距離、廣度 |
度量空間 |
|
移動 |
變化 |
剛性運動、變換群、變化率 |
|
估計 |
逼近、附近 |
連續性、極限、拓樸、空間 |
|
挑選 |
部分 |
子集、布爾代數 |
|
論證 |
證明 |
邏輯連詞 |
|
選擇 |
機會 |
概率（有利／全部） |
|
相繼行動 |
接續 |
結合、變換群 |
（引自胡作玄，2003，頁14）
恩斯特（Ernest, 1992）指出數學哲學應當對數學的性質作出說明（引自鄭毓信、李國偉，1999）。換句話說，在確立了數學的本質後，需要回過頭去探究數學哲學的論述，才能對數學的本質做更深入的理解。
貳、數學的哲學觀
從古希臘時代起，數學的範圍內即形成「柏拉圖主義（唯實論）」和「唯名論」，及「先驗論」和「經驗論」等對立的觀點。直到十九世紀中期開始，數學則進入以數學基礎研究為中心的不同時期，為的是建立一個可靠的基礎，從而藉由可靠的方法去開展（重建）數學（鄭毓信，1994）。然而透過對於數學基礎研究的反思，我們發現雖然數學歷經三次重大的危機，但每一次所引發的悖論卻是促進數學的發展與精淬，擴大了數學的包容性，因此數學的基礎危機是不存在的。黃永和（1998）透過科學典範轉移的觀點來審視數學的哲學，認為在二十世紀六、七○年代興起一股哥白尼式的革命，「將原本視為絕對客觀無誤與靜態的數學知識本質，推向可誤的與動態變化的層面」。徐利治、鄭毓信（1994）也認為數學不應簡單的等同於數學知識的匯集，而應視為人類的一種創造性活動，而在內容及方法上也由一般科學哲學中吸取了不少的問題與思想。以下就根據絕對論與可誤論的哲學觀點加以闡釋。
一、絕對論（absolutism）
長久以來，人們認為數學命題是無可懷疑的絕對真理，各種學派不論其在哲學立場上的不同，在數學上的論述都隱含著先驗論的思想，認為世界先已存在，經由數學被理解，所以數學是客觀的知識，是真理。尤其是笛卡兒（Descartes,
R.）倡言的理性思考，更影響了數學結構的嚴密。然而在十九世紀中期開始的數學基礎研究，為了解決數學本身所存在的矛盾與悖論，進行數學哲學的辯證，企圖建立一個公理化、永恆、絕對可靠的數學基礎。其主要有三大學派，分述如下：
（一）邏輯主義（Logicism）
主要代表人物為羅素（Russell, B.）、弗雷格（Frege, G.）與懷海德（Whitehead, A. N.），其主張有二：一是所有的數學概念最終都能化約成邏輯概念；二是所有的數學真理皆可透過邏輯推論的規則與公理獲得證明（Ernest,
1991）。羅素與弗雷格都是柏拉圖主義的支持者，認為自然數是客觀存在，人要認識這種存在，不需引進特別的假定，也不需康德（Kant, I.）的先天直覺，只要從一般的邏輯出發即可（張景中，1996）。邏輯可建立數學，這就表示數學對象是客觀存在的。懷海德這位過程哲學的首議哲學家更是直指邏輯思想是數學的核心概念，可做為哲學思維的基礎（Whitehead,
1929）。
（二）直覺主義（intuitionism）
此學派的代表人物是布勞維爾（Brouwer, L.
（三）形式主義（Formalism）
1900年，希爾伯特在法國巴黎召開的國際數學家大會（International Congress of Mathematicians, ICM）上發表了著名的23個數學問題，昭示著希氏將所有的數學符號語言予以統一的企圖心，其目的在於將概念變成符號，命題變成公式，推理形成形式規則，把所有的數學抽象成形式化的公理系統，再針對公理系統進行研究，統整出構成公理系統根本的元數學（meta-mathematics），以便釐清數學的各個分支的矛盾，使數學整合成一嚴謹而精確的學科（Gray, 2000）。由此不難看出，形式主義將數學變為抽象推理與符號運作，不再將符號穿鑿附會為實體之理想化（林炎全，1983）。
綜上所述，三派各有其立論的基礎，並有著極度的相異之處，但進入二十世紀中葉以來，三派之間的爭論漸漸平息了。數學家們發現不論哪一派的主張，都不可能一勞永逸的解決數學基礎的問題。豐富的數學內容無法簡單的歸結為邏輯，也不能僅視為人直覺的創造物，它的正確性更不可能用符號的推演來最終證明（張景中，1996）。而重要的是這三派在於各自的數學公理化爭論點上是可以互補不足之處的，恰如哥德爾從事數學研究時，他的數學哲學是直觀主義，邏輯方法是形式主義，而知識工具則是邏輯主義（Casti & DePauli, 2001）。況且將爭論點置於數學的基礎上，完全變為不須考慮人及社會層面的因素（Ernest,
1994），數學的對象就獨立於現實世界之外的「數學世界」之中。
二、易誤論（fallibilism）
基本上，數學都會設定一些公理來協助演繹其命題，如果這些公理是真的，那麼透過證明的命題亦是真的，歐氏即是以此種方式來推論、證明其幾何上的真理。張景中（1996）認為所謂的「真理」，其實就只是指邏輯上不相互矛盾而已。拉卡托斯（Lakatos, 1978）由波普（Popper, K. R.）的否證論進一步推論依賴某一假定並設法證明其真理性時，將導致無窮的迴歸（regression），哥德爾也經由涂林機（Turing
machine）的邏輯推論證明有些確定為真的命題是無法證明的。因此，數學哲學由絕對論轉向易誤論，認定數學命題也有其限制，也可能是錯誤的。以下我們來探討不認定數學是先驗知識的兩種理論：一是拉卡托斯的擬經驗論（quasi-empiricism）；另一是建構論（constructivism）。
（一）擬經驗論
拉卡托斯認為數學既不是理性的，也不是經驗的，而是「擬經驗」的理論。所謂的「擬經驗」的理論本身只是一種說明或解釋，但卻不能用經驗的事實來加以驗證。數學在本質上是具有演繹結構的公理化系統，數學公理只是一種約定或猜想，本身不具有真值。建構「擬經驗理論」的基本原則是針對問題，尋找具高度解釋力和啟發力的假說，然後再用最嚴格的方式加以檢驗，視為能否予以反駁（黃光國，2001）。這樣的「擬經驗理論」反映出數學的理論本質上是可誤的、後驗的且是可修正的、具有創造的潛能的。此外，拉卡托斯也重視數學史，因為數學史包涵數學哲學的演變過程，從而能發展具實際使用的數學理論，說服數學社群能接受該理論。
（二）建構論
建構論指稱人類知識的形成是個人主動建構，不是被動的接受或吸收（Osborne & Wittrock, 1983），而在主動建構的過程中，學習者必是主動的對於知識及經驗做意義的詮釋。建構主義可由五個方面來探討（王文科，2003）：1.起點行為（entering behavior）的重要：學習者運用現有的知識、興趣、態度、目標等來選擇、詮釋當前取得的資訊，即是立基於先前的知能水平上，擴充其知能的廣度及深度。2.由上而下的處理（top-down processing）：學習者面對有待解決的問題及任務，透過教學者的輔導，發現解決問題及執行任務所需的知能。3.知識本質無法由一個人遷移給另一個人：知識在傳遞及轉譯的過程中易受文化、個人特質等的影響產生變化，無法全然無誤的移轉給另一人。4.真理總是存在：學習者透過學習的過程所獲得知能，在結論上不論是否一致，總認為真理存於自己的心中。5.討論和辯論為協助個人建立自己觀點之鑰：學習者形成及改變理論或研究的觀點，係來自有系統的、開放的與同僚討論及辯論而得。
在數學的教學上，恩斯特（1991，1994）綜合擬經驗論、約定論與極端建構論的觀點而提出了「社會建構論」。其模式為：個體所創造的主觀性知識透過社會歷程而被社會大眾所接受，即變成客觀性知識；客觀性知識經過個體的內化與重新建構後，又形成一新的個體主觀性知識，成為下一階段客觀性知識的基礎，如此周而復始的不斷循環，產生新的數學知識。這也意謂數學與其他的科學相互結合，交融出新的意義與擴大數學的應用層面。
鄭毓信、李國偉（1999）總結數學哲學的轉變，有四點分析：1.研究立場的轉移，就是由與實際數學活動嚴重分離轉移到密切結合；2.對於數學史的高度重視；3.研究問題的轉移；4.動態的、經驗的和擬經驗的數學觀取代了靜態的、絕對主義的數學觀。換句話說，我們必須重新去看待數學這一學科本質與內涵，是人類文化的有機組合，能夠促進人類文化發展與文明進步，傳遞人類的智慧（李善良、單墫，2002）。
参、解析我國國小數學課程的內涵
課程學者談到的課程基礎，不外三個方面：哲學和知識性質、社會與文化、個人及學理論，分別稱為課程的哲學、社會學及心理學三大基礎（劉玉玲，2003）。托姆（Thom, 1972）也認為數學教學是以數學哲學為其基礎的。本節將透過哲學來解析我國國小數學課程的演變及其內涵。
台灣的國小數學課程在近二十年的發展經歷了四次的修訂，而每次的修訂期限間隔也越來越短，分別是強調使用教具的數學課程時代（1978-2000），強調知識建構的數學課程時代（1996-2003），強調能力培養的數學課程時代（2001年起）及強調計算能力的數學課程時代（預計2005年起）（楊美伶，2003），分述如下：
一、強調使用教具的數學課程時代（1978-2000）
此階段的教科書是依據教育部頒布的六十四年國小數學課程標準所編輯而成，主要由國立編譯館統一編輯，全國使用同一版本的教科書，並逐年調訓教師研習，熟悉課程內容，並配發大量的教具到各校，使教師於課堂中使用教具教學。期間曾因強調教科書簡化、淺化而改編過，但主要的精神、特色未曾變化過。
本階段教科書的內容特色在於有系統、有條理的安排課程進度，同一概念集中於一個或兩個單元中實教，學生可以循序漸進的學習，不致產生內部概念連結的混淆。而重視教具的教學方法也讓學生從具體操作、半具體操作，進入到抽象的、形式的運作。但其缺點在於概念集中致使學生易發生猜想的現象，例如：教分數的加法時，一道問題呈現，學生會不加思索的運用加法的規則運算，不去細究其中的原因所在，也就變成了「知其然而不知其所以然」的現象。而進入另一新的單元時，易發生新舊概念間外部概念的錯置現象，只懂得計算同一類型題目，但不會解釋原因何在，因而成為下一波數學課程修訂的因由。
二、強調知識建構的數學課程時代（1996-2003）
本階段的教科書是依據教育部八十二年國小數學課程標準所編輯而成，亦由國立編譯館統一編輯，全國使用同一版本的教科書。本階段課程標準制定時適逢美國NCTM公布數學課程標準，因此解題、溝通、推理、聯結等能力的培養深深影響課程標準的制定。82年課程數學標準中的總目標詳載：「養成主動地從自己的經驗中，建構與理解數學的概念」（教育部，1994），教學方法述及：「數學的概念與技能，必須由兒童自行建構，無法由教師灌輸而獲得，因此數學的教學應提供兒童觀察、操作、思考、討論的機會並由此進一步歸納、驗證數學知識」（教育部，1994），因此教科書的編輯重視以學生本位的學習，而為了修正前一版本的錯誤，也將概念分散於教材之中，達到分散學習、概念持續的目的。
82年版數學課程標準首次出現「建構」一詞，意指概念須通過學生的活動與思辨經驗，經建構過程而產生，非由教師灌輸所能獲得（教育部，2003）。特別強調其「動詞」性「建構」的特性（鍾靜，2003），因而本階段的教科書編輯十分強調兒童自發性的「建構」數學知能，由兒童法開始解題，透過教室內的社會互動歷程–表達、溝通、辯論與達成共識，漸次統合自我的數學知能。由於學生的個別發展程度不同，教科書的編排上也給予充裕的時間，使學生能夠結合舊經驗，去發展新經驗，因此解題的方法呈現多樣性。學生在學習數學的過程是「知其然，也知其所以然」的，也充份學習到數學知能以外的民主素養。但是，由於本階段教科書的教材結構及教學方法和以往有極大的差異，在教師準備不及的情況下實施，必然衍生許多問題，而學生在進行社會互動的過程又無法兼顧效率，因而無法讓社會大眾接受。
三、強調能力培養的數學課程時代（2001年起）
本階段進入九年一貫的課程，其數學課程的目標強調能力的養成，培養學生「發展形成問題與解決數學問題的能力；發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力；培養學生數學的批判能力；培養欣賞數學的能力（教育部，2001）」。而數學的能力尚包涵「連結」，除了數學的內部連結貫穿各個主題外，「數學的外部連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通、評析諸能力的培養（教育部，2001）」。而教學方面則「應讓所有學生都能積極參與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通的能力，期在社會互動的過程中建立數學知識（教育部，2001）」。
本階段的教科書完全開放民間編輯，編排上延續與擴充82年版課程的理念–「學科發生邏輯」（鍾靜，1999，2001，2003a），而更重生活情境的連結。但本階段的學生在82年版的數學課程實施下，呈現計算能力低落的情形，在進入國中階段又因為教材銜接上的問題，兼之九年一貫與82年版的數學課程內容變動不大的影響，致使這群國一生的數學成績不理想，而招致社會大眾的反彈，暫行綱要實行不到幾年即面臨遭更替的命運。
四、強調計算能力的數學課程時代（預計2005年起）
相較於前一階段由數學教育家主導的數學課程，本階段的數學課程則由數學家主導（引自鍾靜，2003a）。本階段綱要的修訂原則為：1.參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材；2.採用國際間數學課程必備的核心題材；3.考慮數學作為科學工具性的特質；4.現有學生能夠有效學習數學的一般能力（教育部，2004）。不難看出為了改變82年版數學課程實施以來學生計算能力低落的情況而做的調整。而教學總體目標為：1.培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力；2.學習應用問題的解題方法；3.奠定下一階段的數學基礎；4.培養欣賞數學的態度及能力（教育部，2004），改變趨於數學性，不若前一階段重視各方面的均衡：1.數學性–發展形成問題與解決數學問題的能力；2.社會性–發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力；3.心理性–培養學生數學的批判能力；4.文化性–培養欣賞數學的能力（楊美伶，2003）。
綜合上述四個階段的數學課程改革的特性，隱身於課程背後的哲學思考似乎是繞了一圈又回到原點：64年版強調數學知識的重要，82年版及暫行綱要重視的是社會歷程的學習模式，而綱要又回過頭強調64年版的數學知識，其理念為：「除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸。…所謂『數學能力』，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性的感覺（教育部，2004）」。在教學上，重視的是觀念和演算，及學生的數學經驗（或數學感覺）的培養。引導並利用學生的前置經驗（或感覺），這種數學的經驗或感覺就是數學的直覺或直觀。學生數學能力的深化，奠基在揉合舊有的直觀和新的觀念或題材，進而擴展成一種新的直觀。在認知能力上，直觀是思維流暢的具體展現；在能力培養上，直觀讓學生能從根本上，擺脫數學形式規則的束縛，豐富學童在抽象層次上的想像力與觀察能力，這二者是兒童數學智能發展中的重要指標（教育部，2004）。
各階段的數學課程的特性如表二所示：
表二：數學課程不同年代版本的特性
|
版本 |
特性 |
備註 |
|
國小數學64年版 |
論理結構、知識導向、教具操作 |
|
|
國小數學82年版 |
心理結構、知識建構、認知發展 |
|
|
九年一貫數學暫行綱要 |
心理結構、學習方式、能力培養 |
接近國小82年版、國中83年版 |
|
九年一貫數學綱要 |
知識導向、演算能力、銜接高中 |
接近國小64年版、國中67年版 |
（引自鍾靜，2003a，頁9）
而各階段的數學課程內容沒有太大的變化，主要是數與量、代數、統計與機率、幾何及數學符號與關係，其更替的內容詳如表三：
表三：64年、82年、90年、92年數學課程綱要之領域和主題
|
64年（課程標準） |
82年（課程標準） |
90年（暫行綱要） |
92年（綱要） |
|
|
六大領域 |
六大領域 |
五大主題 |
五大主題 |
|
|
數與量 |
數與計算 |
數與量 |
數與計算 |
數與量 |
|
實測與計算 |
量與實測 |
量與實測 |
||
|
集合與關係 |
數量關係 |
關係 |
代數 |
|
|
代數 |
||||
|
統計與圖表 |
統計圖表 |
統計與機率 |
統計與機率 |
|
|
圖形與空間 |
圖形與空間 |
圖形與空間 |
幾何 |
|
|
術語與符號 |
術語與符號 |
|
|
|
|
|
|
連結 |
連結 |
|
（引自吳亭萱等，2004，頁103）
肆、結論與啟示
一、保持哲學上的自覺性
綜合比較數學哲學與我國國小數學課程的演變，基本上兩者的脈絡是極為相似的，數學的方向趨於生活化，並與其他領域的科學相互結合，而其本身也不再是唯一的真理，是動態而可誤的。話雖如此，但我們仍需深自警覺：學校教的數學與客觀世界的數學差別有多大？而我們需要的是何種模式的數學？正如鄭毓信、李國偉（1999）所指出的：哲學上的自覺性是保證數學教育改革運動健康發展的一個重要條件。特別是，這樣可以防止我們盲目的追逐國外的潮流，以免不自覺的淪為各種錯誤口號的俘虜。
二、立基於文化的發展數學
黃武雄（1994）比較中西數學發展的差異，指出西方數學較注重質（定性）的發展，留下許多邏輯論證的文獻；而中國數學較注重量（定量）的發展，大部份的文獻也多為解法或公式。中西方數學各立基於文化的需要而發展，未來我國的數學發展的方向不應僅僅偏重於某一方的發展，重要的是依據自身的文化建構數學教育。
三、將數學史融入數學課程中
數學史的重要性在於使我們明瞭數學在發展的歷程中所遭逢過的困境與數學家們解決問題的思維方式，本身具一定趣味性外，同時也可以消極的提醒後學者免於落入同樣的困境，積極的誘發後學者去審思其理論的正確性，尤有甚者，更可創造出新的數學理論。在數學的教學中加入數學史，相信一定可以減少學生學習數學時的艱澀性及厭惡感。
四、數學課程改革理念的下達
我國的數學課程改革的間隔越來越緊迫，造成的影響除了教師準備不足外，也連帶使許多的教師無法掌握每次教育改革背後的哲學基礎，使教育改革的理念遭到曲解，以致改革的成效不彰，嚴重影響學生的學習。雖然台灣省教師研習會（現改為國立教育研究院籌備處）多次調訓各縣市教師成為種子教師，但似乎偏重於教學法，沒有將教改的理念灌輸下去，像是82年版期間所引發的「建構式數學」的誤解，造成的損害不是短時間就可彌補的。要提高教改理念的宣達成效，除了在師資培育階段設立相關課程外，要緊的是現職教師的在職進修或研習。
參考文獻
中文部分
王文科（2003）。課程與教學論（五版）。台北市：五南。
丘成桐（1999）。數學的內容、方法和意義。數學傳播，23（1），3-7。
吳亭萱等（2004）。64年、82年、90年、92年數學課程教材綱要之比較。載於洪雪芬（主編），64年、82年、90年、92年國小數學教材綱要整理與比較（101-143）。國立中山大學教育學程中心，未出版，高雄市。
李國偉（1978）。數學的本質。數學傳播，2（3），17-21。
李善良、單墫（2002）。我們為什要學習數學–兼及新世紀中小學數學課程目標。數學傳播，26（4），77-88。
林炎全（1983）。數學史–數學思想的發展（下冊）。台北市：九章。
胡作玄（2003）。數學。香港：中華。
徐利治、鄭毓信（1994）。數學哲學現代發展概述。數學傳播，18（1），3-10。
教育部（1994）。國民小學課程標準。台北市：台捷。
教育部（2001）。國民中小學九年一貫課程暫行綱要。台北市：教育部。
教育部（2003）。樂在數學–國民中小學數學教學參考手冊。台北市：教育部。
張景中（1996）。數學與哲學。台北市：九章。
黃永和（1998）。數學哲學及其對數學教育的影響與啟示。教育研究資訊，6（1），91-105。
黃光國（2001）。社會科學的理路。台北市：心理。
黃武雄（1994）。中西數學簡史。台北縣：人間文化。
黃敏晃（2003）。數學的本質與格式。研習資訊，20（2），36-47。
楊美伶（2003）。教師如何因應數學課程的變革。國民教育，44（2），27-31。
廖素卿（2003）。從數學演變反思數學教育的理念。國立彰化師範大學數學教育系研究所碩士論文。未出版，彰化市。
劉玉玲（2003）。課程發展與設計。台北縣：桂冠。
鍾靜（1999）。落實國小數學新課程之意圖與學校本位的進修活動。課程與教學季刊，2（1），15-35。
鍾靜（2001）。學生學習為中心的數學教學特質分析研究II。行政院國家科學委員會專題研究計劃成果報告（報告編號：NSC
89-2511-S-152-029），未出版。
鍾靜（2003a，10月）。論九年一貫課程數學領域之暫行綱要。論文發表於國立台灣師範大學主辦之「課程綱要實施檢討與展望研討會」。台北市。
鍾靜（2003b）。「建構數學」的誤解與迷思。國民教育，44（2），5-10。
鄭毓信（1994）。數學哲學的內容和意義。數學傳播，18（1），11-13。
鄭毓信、李國偉（1999）。數學哲學中的革命。台北市：九章。
英文部分
Brouwer, L. E. J. (1913). Intuitionism and formalism.
In Benacerraf, P. & Putnam, H.
(Eds.), 1983, Philosophy of mathematics. (77-89).
Casti, J. L. & DePauli,
W. (2001). Gödel:
A life of logic.
Ernest, P. (1991). The
philosophy of mathematics education.
Ernest, P. (1994). The
dialogical nature of mathematics.
In Ernest, p. (Ed.), Mathematics, education, and philosophy: An international
perspective. (33-48).
Gray, J. J. (2000). The Hilbert Challenge.
Lakatos, I (1978). Mathematics, science and epistemology.
Osborne R. J. & Wittrock M. C. (1983). Learning science: A
generative process. Science Education, 67(4), 489-508.
Thom, R. (1972). Modern mathematics: Does it exist? In Howson, A. G. (Ed.), Developments in mathematical education.
(194-220).
Whitehead, A. N. ( 1929 ) . The aims of education.
其他來源：
教育部（2004）。國民中小學九年一貫課程綱要。2004年